Mandelbrot, domador de fieras matemáticas

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Los fractales, un método para entender el mundo natural a través de una nueva geometría

 

Por qué tienen las coliflores forma de nube? Las preguntas infantiles a menudo revelan misterios que los adultos, a fuerza de habernos acostumbrado al mundo, hemos dejado de ver. Por supuesto que podemos desembarazarnos fácilmente de ellas. Decimos, por ejemplo, que todas las nubes son diferentes y que algunas no se parecen en absoluto a una coliflor, y añadimos que en realidad no se puede hablar de la forma de algo tan variable e irregular. Las nubes no tienen una forma, sino cualquier forma. Por eso, a veces parecen coliflores y a veces ovejas o señores barbudos. Dicho esto, volvemos a nuestros quehaceres cotidianos sin haber tenido que responder “no lo sé”.

       Sin embargo, algo tendrán en común las nubes si somos capaces de reconocerlas como tales, y ocurre lo mismo con montañas, ríos, costas, árboles y muchos otros fenómenos naturales, como el rayo. Aunque en el colegio no aprendiéramos los nombres de estas figuras, las utilizábamos constantemente, pues dibujábamos la luna con un círculo, pero el rayo como una grieta cruzando el cielo.

       ¿En qué consiste la forma de un árbol si no existen dos árboles idénticos? La respuesta a esta pregunta, que recuerda a las de Platón, no fue posible hasta los estudios de Benoît B. Mandelbrot. Su libro más conocido, La geometría fractal de la naturaleza, comenzaba con las siguientes palabras:

       “¿Por qué se suele decir que la geometría es fría o seca? Una razón reside en su inhabilidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza del árbol no es suave, y tampoco viaja el rayo en línea recta”.

       Mandelbrot se dio cuenta de que todos estos fenómenos eran en algún sentido autosimilares. Si cortamos una coliflor, por ejemplo, encontramos que cada parte parece una coliflor más pequeña, que a su vez se puede subdividir en diminutas coliflores. Del mismo modo, cada pico de una montaña es, cuando nos acercamos, como una pequeña montaña con sus picos, que están formados también por picos menores y así sucesivamente. El mismo principio nos permite utilizar una rama de pino para representar un pino en el belén, puesto que la rama se asemeja al árbol completo.

       Los matemáticos ya conocían la propiedad de autosimilaridad (o autosemejanza) mucho antes de la obra de Mandelbrot. La línea recta era un caso bien conocido. Al dividirla, obtenemos líneas rectas. También se habían estudiado formas más complejas, como la curva de Koch y el espacio de Peano, con implicaciones tan sorprendentes y extravagantes (como veremos a continuación) que fueron almacenadas como curiosidades patológicas, consecuencias de una especulación teórica que nada tenía que ver con el mundo real. Mandelbrot emprendió la tarea de convertir esta galería de monstruos matemáticos en un museo de la ciencia, en el que elementos geométricos considerados hasta entonces aberrantes se revelaban como la clave para entender muchos aspectos del mundo natural.

 

Costas y dimensión fractal

Centremos nuestra atención en la curva de Koch dibujada junto a estas líneas. Se ha marcado en rojo un fragmento que reproduce a escala la forma de la imagen entera. No hay duda de que se trata de una curva abrupta (Mandelbrot se resistía a llamarla irregular porque su construcción se realiza, al fin y al cabo, siguiendo una regla sencilla muy bien definida). A pesar de que es imposible medir su longitud utilizando una regla, se puede intentar determinar por un método indirecto. Primero, escogemos una vara de extensión conocida y contamos cuántas veces cabe a lo largo de la figura. A continuación, repetimos el proceso con una vara más corta. Ésta se ajustará mejor a los salientes que la anterior, por lo que obtendremos una distancia mayor. Al escoger varas cada vez menores, la longitud medida debería aproximarse cada vez más a la longitud real de la curva.

       Sorprendentemente, mediante este procedimiento no nos acercamos a ningún valor concreto sino que, a medida que escogemos varas más diminutas, la longitud que observamos aumenta sin límite, y se puede demostrar rigurosamente que la extensión de la curva de Koch es de hecho infinita, aunque el área que queda debajo (en gris) sí tiene un valor numérico limitado.

       Los datos de costas reales muestran las mismas características. Cuando se utilizan escalas más precisas, y se tienen en cuenta los cabos y bahías que pasaban desapercibidos en mapas de áreas mayores, el número de kilómetros de costa crece sin límite aparente. A los constructores de hoteles de playa quizás les desilusione averiguar que, si bien la longitud de las costas se puede hacer tan grande como uno desee (utilizando el metro adecuado), el área de las playas delimitadas por ellas sigue sin ser infinita.

       Concediendo que no se puede definir con precisión cuál es la extensión del contorno de una isla, Mandelbrot demostró que era posible comparar unas con otras, siempre que se aceptara que, en lugar de tener dimensiones cero, uno o dos como corresponde, respectivamente, al punto, la línea y el plano, estas formas tenían dimensiones que no eran números naturales. Así, la curva de Koch tiene dimensión 1,26 y la costa oeste de Gran Bretaña 1,25. Esta noción (conocida como dimensión Hausdorff) permite definir los conjuntos fractales como aquellos con dimensiones Hausdorff entre medias de dos números naturales. En infografía se utiliza a menudo este descubrimiento, porque la creación de imágenes realistas de montañas, nubes y plantas exige solamente el conocimiento de un número tomado de la naturaleza: la dimensión fractal del fenómeno.

 

 

Tormentas y turbulencia

Es evidente que las costas no son idénticas a sus partes, pero se puede decir que presentan un perfil rugoso parecido a muchas escalas. Este tipo de autosemejanza se denomina estadística y aparece en muchos otros ámbitos del estudio científico, como los vórtices que se forman en fluidos turbulentos, la estructura del cerebro, los cúmulos galácticos y las variaciones de precios. En La necesidad inevitable de las herramientas fractales en las finanzas, Mandelbrot explicaba tal abanico de aplicaciones diciendo que la geometría fractal mide la aspereza de manera intrínseca y sirve, por lo tanto, como una teoría cuantitativa de la aspereza en todas sus manifestaciones.

       A pesar de la ubicuidad de esta característica, la geometría se había centrado principalmente en el estudio de formas de bordes pulidos y curvas suaves. El interés obsesivo de Mandelbrot por las siluetas quebradas provocó que, hasta que hubo organizado las bases de la teoría fractal, no encontrara su sitio entre sus colegas matemáticos y tuviera que describirse “también como un físico, y un economista, y una especie de artista, y…”. Tras estas diferentes vocaciones, aparentemente desconectadas, se percibía siempre la búsqueda de un orden subyacente que explicara los acontecimientos azarosos, búsqueda que invita a una comparación poética entre la geometría que desarrolló y su vida, que él mismo asemejaba a una trayectoria fractal.

       La educación de Benoît Mandelbrot coincidió con tiempos verdaderamente turbulentos para Europa. Nació en Varsovia en 1924 en el seno de una familia judía que se trasladó a París a mediados de la década de los treinta para evadir la amenaza de un estado alemán nacionalsocialista. Su madre lo mantenía apartado del colegio por miedo a las epidemias, por lo que uno de sus tíos, adoptando el papel de tutor, se ocupó de su educación y prendió su interés por las matemáticas, los mapas y el ajedrez. Se cuenta que el joven Benoît era un jugador excelente y que visualizaba sus estrategias en términos de relaciones espaciales.

       Durante la guerra, la familia se alejó del peligro de las grandes ciudades afincándose en Tulle. Habiendo pasado tanto tiempo al margen de los cauces académicos establecidos, Mandelbrot se convirtió en un estudiante autodidacta y desarrolló una intuición geométrica extraordinaria, con la que pudo enfrentarse a problemas complejos con un enfoque muy poco convencional.

       Después de la ocupación, regresó a París e ingresó en la famosa École Politechnique, donde asistió a las clases de Paul Pierre Lévy y Gaston Julia. Fue entonces cuando su tío le recomendó que estudiara un artículo (una obra maestra, decía) de Julia, que era, a su juicio, una fuente inagotables de problemas interesantes. A Mandelbrot le disgustó el artículo y lo dejó de lado. Continuó sus estudios en la rama de ingeniería aeronáutica en el instituto de tecnología de California y después regresó de nuevo a París, donde obtuvo un doctorado en ciencias matemáticas. Sus preferencias seguían en conflicto con los gustos matemáticos de la época, así que dedicó sus esfuerzos a la matemática aplicada, contribuyendo a la resolución de problemas de diferentes disciplinas, buscando siempre orden donde los demás veían sólo caos. En 1958, comenzó a trabajar para IBM, y permaneció en la compañía hasta 1974.

       Mientras tanto, en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, E. Lorenz estaba desarrollando un sencillo modelo para explicar los cambios atmosféricos, con la esperanza de hallar herramientas útiles para la predicción meteorológica. Le sorprendió encontrar que una variación minúscula en las condiciones iniciales producía patrones radicalmente diferentes. En 1963 publicó sus descubrimientos en un artículo que sugirió el célebre concepto del efecto mariposa. Si la dinámica de la atmósfera era tan inestable como sugerían sus ecuaciones, hasta una mariposa batiendo las alas podía producir efectos tan dramáticos como la formación de una tormenta. Lo fascinante es que, por debajo de esta evolución tan compleja, Lorenz descubrió una estructura fractal (llamada ahora el atractor de Lorenz), que servía para explicar el comportamiento de su sistema a largo plazo.

 

Orden y caos

La investigación de Lorenz inauguró el estudio de los sistemas dinámicos caóticos donde, en lugar de utilizar la geometría fractal para describir formas, se utiliza para caracterizar la evolución en el tiempo.

       En 1980, Mandelbrot releyó el artículo de Julia que había dejado de lado treinta y cinco años antes. El 1 de marzo utilizó un programa para representar gráficamente el fractal de la imagen.

       En este conjunto, nombrado en su honor, podemos encontrar subconjuntos parecidos que no son estrictamente idénticos. La complejidad de la imagen es infinita, en el sentido de que siempre muestra una estructura intrincada, independientemente de cuánto la ampliemos (cada una de las imágenes se ha obtenido agrandando el recuadro rojo de la anterior). Y, sin embargo, todos estos patrones florecen a partir de una fórmula sencilla, escrita en una línea bajo el fractal.

       No es de extrañar que la geometría fractal haya cautivado tanto a científicos como a artistas. Mandelbrot, que falleció el pasado 14 de octubre, vivió para ver cumplido su sueño. Aquellas construcciones de los matemáticos, aberrantes para la intuición común, resultaron ser finalmente herramientas indispensables para la comprensión de fenómenos conocidos, además de un puente hacia nuevos mundos de sorprendente belleza.

       Volviendo a la pregunta que abría este artículo (¿por qué tienen las coliflores forma de nube?), podemos responder ahora que la formación de las coliflores probablemente comparte con algunas nubes ciertas características espaciales de autosemejanza. Quizás tengan aproximadamente la misma dimensión fractal (se han medido dimensiones de 2,35 en algunas nubes y la dimensión de la coliflor es aproximadamente 2,33). Desgraciadamente, la respuesta corta sigue siendo “no lo sé”. La razón se sigue investigando activamente hoy en día. Sin la teoría de los fractales, ni siquiera sería posible formular la pregunta en términos científicos.

 


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Autor: Marc Meléndez